Hoofdbanner

Quantummechanica en het gewone dagelijkse leven raken steeds meer met elkaar verstrengeld, lijkt het. Was het vroeger zo dat iets of wèl waar was of niet waar was, tegenwoordig werken we, zonder dat we ons daar al te veel bewust van zijn, vaak met waarschijnlijkheidsmodellen. In de politiek, zie de analyses van o.a. het CPB, maar ook bij het weerbericht, of op televisie, getuige de nogal infantiele spelletjes aldaar. Alleen, hoe we de waarschijnlijkheden moeten berekenen, dat weten de meesten niet. We zijn daarbij geneigd om op onze intuïtie af te gaan en vergeten gewoon door te rekenen. Op school leren we logisch na te denken, stap voor stap, zeker in de exacte vakken. Die kwaliteit dient juist in onzekere tijden als deze, met alle nepnieuws van dien, ontwikkeld en behouden te blijven.  

Een mooi, inmiddels klassiek voorbeeld hiervan is een al wat oudere Amerikaanse quiz, in Nederland overigens nooit te zien geweest. Er zijn 3 gesloten deuren. Achter één van die deuren staat een spiksplinternieuwe auto. Een deelnemer mag een deur kiezen. Zeg dat hij kiest voor deur A. De presentator doet vervolgens, heel pesterig, deur A niet open, maar opent een deur waarvan hij weet dat de auto zich daar niet bevindt. Zeg dat dat deur B is. Nu laat hij de deelnemer opnieuw kiezen uit deur A en C. 

De deelnemer twijfelt natuurlijk. Bedenk zelf wat jij zou kiezen. Zou je het houden bij je eerste keuze, deur A, of zou je nu kiezen voor deur C? Of denk je dat het niet uitmaakt wat je kiest, dat de kansen even groot zijn?

Dit probleem staat bekend als het driedeurenprobleem. Ofwel de Monty Hall. Een hersenkraker, zo op het eerste gezicht. 
                                 

                                                                                               Drie deurenprobleem


In bovenstaande figuur betreft het een deur waarachter zich geen geit bevindt. Als je die hebt geraden, heb je gewonnen.
Er doen zich drie situaties voor. Bij de linker situatie kiest de deelnemer deur A. De spelleider doet dan deur C open en vraagt dan of de deelnemer bij deur A blijft. Wijzigt hij van keuze, dan verliest hij (want achter de gekozen deur C zit een geit).
Bij de middelste situatie kiest de deelnemer deur B. De spelleider opent deur C en vraagt of de deelnemer zijn keuze wijzigt. Doet hij dat, dan heeft hij gewonnen (want achter deur A zit geen geit).
Bij de rechter situatie kiest de deelnemer deur C. De spelleider doet deur B open. Als de deelnemer zijn nkeuze wijzigt, heeft hij weer gewonnen (want achter deur A zit geen geit).

Dus: bij wijziging van de eerste keuze is er de kans 2 op 3 om te winnen. Bij het vasthouden aan de eerste keuze is er de kans van 1 op 3 om te winnen.

In de praktijk blijken de meeste mensen het bij hun eerste keuze te houden. Ze gaan daarbij op hun gevoel af. Dat zegt hen kennelijk dat de eerstgekozen deur hen de grootste kans op geluk brengt.


Gaan we weer terug naar de Amerikaanse quiz met één auto achter een van de drie deuren. Statistisch is de kans dat de auto zich achter deur A bevindt, 1 op 3. Een andere lege deur na de keuze voor A openen, doet daar niets aan af. In eerste instantie is de kans van de auto achter niet A, dus achter B en C tezamen natuurlijk 2 op 3.

Na het openen van een lege deur lijkt de situatie veranderd. Maar de kans dat de auto zich achter deur C bevindt, is nog altijd 2 op 3. B en C hadden samen een kans van 2 op 3, en met het wegvallen van een lege deur (in dit geval B) blijft die kans hetzelfde.

De kans dat de auto zich achter deur A bevindt, blijft nog altijd 1 op 3. Dat verandert niet meer. Dat komt door je keuze in de eerste ronde.

Mocht je met deze laatste stap moeite hebben, vergelijk dan het volgende. Stel dat je uit 10 deuren mag kiezen. Achter één deur staat een auto. Je kiest voor deur 1. Je hebt dan een kans van 1 op 10 dat je de auto hebt. Wanneer de presentator nu de 8 andere, lege deuren opendoet en jou opnieuw laat kiezen, zou jij dan weer dezelfde deur 1 opendoen? Ik denk het niet. Je voelt dan al wat meer aan dat je beter de andere, nog enige dichte deur kunt kiezen (in kansen ga je van 1 op 10 naar een kans van 9 op 10!).
Dus, statistisch gezien is het verstandiger om voor deur C te kiezen. Je vergroot je kansen daarmee van 1 op 3 naar 2 op 3.

(Dat deze eenvoudige rekensom toch voor velen niet zo vanzelfsprekend is, blijkt uit de heftige discussies die door deze quiz zijn losgebarsten. Zelfs hoogleraren in de wiskunde bemoeiden zich ermee. Sommigen bleven ten onrechte beweren dat het niet uitmaakte welke deur je in tweede instantie kiest, de kansen blijven even groot. Het heeft fraaie lectuur opgeleverd, zie o.a. Het laboratorium in je hoofd van Sebastien Valkenberg).

Ook hier blijkt: het kiezen op basis van gevoel is meestal niet de beste manier om tot succes te komen. Toch maar wat meer aan dat onderschatte rekenen doen, op school. Het kan je het nodige fortuin opleveren, niet alleen materieel.

  • 0 # Rob Jakobs 01-mei-2020 @20:36
    Over het driedeurenprobleem heb ik ooit hooglopende ruzie gehad met de Statistical Engineer van een groot Amerikaans chemieconcern in Dordrecht, waar ik in een vorig leven voor werkte. Hij hield bij hoog en laag vol, dat als je kunt kiezen uit twee deuren, er 50% kans is dat je de juiste deur kiest. Ik kon hem er niet van af brengen, dus dat zegt wel iets over mijn destijdse kwaliteiten als docent... en over de kwaliteiten van de Statistical Engineer in kwestie.
    Antwoorden | Antwoorden met citaat | Citeer
    0 # Fred 02-mei-2020 @09:29
    Het is toch een kwestie van logisch nadenken, zou je zeggen. Een probleem in deze tijd van nepnieuws. Veel mensen gaan toch meer op hun 'gevoel' af dan dat men het heldere verstand gebruikt. Wetenschap is ook maar een mening, dat soort uitspraken krijg je dan. Dit driedeurenprobleem zou op elke school behandeld moeten worden, als voorbeeld hoe ons gevoel ons voor de gek kan houden. Dat jouw collega zo volhardend was in zijn 'drogreden' geeft wel te denken. Dat dat kwam door jou, ik denk het niet. Mensen met een tunnelvisie zijn blind voor andere standpunten. Ze blijven altijd bij hun eerste keuze, wat de ander daar ook tegenin brengt. Inderdaad, dit soort mensen is rijp voor nepnieuws.
    Antwoorden | Antwoorden met citaat | Citeer
    0 # Rob Jakobs 02-mei-2020 @11:45
    Gelukkig ontwierp die ex-collega geen chemische processen...
    Antwoorden | Antwoorden met citaat | Citeer
    0 # Fred 02-mei-2020 @12:45
    Maar goed ook dan...
    Antwoorden | Antwoorden met citaat | Citeer