Op de basisschool leer je in groep 3 om te gaan met getallen. Dat doe je middels optellen en aftrekken.
Bijvoorbeeld: 2 + 3 = 5 en 3 - 2 = 1
De getallen 1, 2, 3… noemen we natuurlijke getallen.

Maar je hebt een probleem bij de som: 2 – 3 = ?
In eerste instantie denk je, dit kan niet. Tot je het begrip negatieve getallen invoert. Dat is een eerste uitbreiding van wat jou bekend is. De uitkomst wordt dan: 2 – 3 = -1
De getallen …-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3… noemen we gehele getallen.

In groep zes krijg je de begrippen vermenigvuldigen en delen voor de kiezen. Bijvoorbeeld:
2 x 3 = 6 en 8 : 4 = 2
Nu dient zich een probleem aan wanneer je bij delen niet op een geheel getal uitkomt, zoals bij 3 : 12 = ?
Er volgt weer een uitbreiding. Het begrip breuk wordt ingevoerd.
De uitkomst wordt dan: 3 : 12 = 1/4. Dit mag ook als een decimaal getal geschreven worden: 3 : 12 = 0,25.
Dus naast de gehele getallen hebben we nu ook breuken. We noemen dit rationale getallen.

Inmiddels hebben we leren kwadrateren en wortel trekken. Bijvoorbeeld: 3² = 9 en √9 = 3
Maar nu hebben we een probleem bij een wortel waar de uitkomst niet een geheel getal is, zoals bij √2 of √5.
Ook dit lossen we door ons begrip van getallen uit te breiden. We laten dit gewoon staan als √2 of √5, of rekenen dit uit als decimaal getal met een bepaald aantal cijfers achter de komma.
Als je dit omzet naar een decimaal getal, krijg je een niet herhalend getal.
Bijvoorbeeld: √2 = 1,41421356237…
Vergelijk dit met 1/11 = 0,090909 waar wel een einde optreedt. Deze breuk geldt nog als een rationaal getal. Maar √2 niet.
Nieuwe uitbreiding. Wanneer we het niet kunnen uitdrukken als een breuk van gehele getallen en hun decimale deling is niet eindig, dan zijn dit irrationale getallen.

Een volgend probleem omstaat bij het wortel trekken van een negatief getal. Bijvoorbeeld, wat is de uitkomst van √-9 = ?
Dat kan niet, denken we. Geen probleem, we introduceren een nieuwe uitbreiding.
We definiëren √-1 als i. Oftewel, i² = -1. Dus √-9 = √-1 x √9 =  3i.
Dit noemen we complexe getallen. Pas in 6VWO krijg je dit bij het vak wiskunde D en natuurlijk op de universiteit bij de bètavakken. Ikzelf kreeg dit toentertijd in 6VWO als onderdeel van het vak wiskunde II. Soms worden deze getallen als imaginaire getallen aangeduid.

En zo kunnen we verder gaan. In de universitaire wiskunde kent men nog de quaternionen (een uitbreiding van de complexe getallen), de p-adische getallen (een nogal ingewikkeld begrip uit de getaltheorie), surreële getallen (een soort van oneindige uitbreiding van de reële getallen, pas in 1969 gedefinieerd) en transfiniete getallen (die voorbij gaan aan de eindigheid van getallen).
Zo zie je maar hoe flexibel we zijn in de wiskundige beschrijving van de wereld. We passen ons steeds weer aan de nieuwe omstandigheden aan. We zijn, goed beschouwd, onuitputtelijk.